[ 수학으로 시작하는 3D 게임 개발 ] Chapter 1 선형 대수 ( Linear Algebra )

선형 線型 Linear

미지수로 이루어진 함수가 선형성을 띈다는 것은 어떤 함수가 진행하는 모양이 직선 이다. 라는 의미로, 주로 1차 함수가 대상이 된다. 

대수 代數 Algebra 

문자 그대로 수를 대신한다는 의미이다. 한국인라면 누구나 익숙한 x, y 등의 미지수가 포함된 식을 활용하는 수학이라고 생각 할 수 있따.

선형성

함수 f 에 대해,

임의의 수 x , y 에 대해 f(x+y) = f(x)+f(y) 가 항상 성립하며,

임의의 수 a , x 에 대해 f(ax) = af(x) 가 항상 성립할 때 함수 f 는 선형 이라고 한다.

선형 함수가 되기 위한 조건들을 만족하려면 함수가 반드시 1차 여야 하는데, 2차 이상의 차수를 가진 수식에서 위의 두 조건이 성립하지 않는다. 

공간

공간space 이란, 함수들에 적용되는 값들의 집합set 예를 들어 정의역, 치역 등과 같이 어떤 값들이나 객체의 집합 이라고 볼 수 있다.

벡터 Vector 벡터 공간 Vector Space

이런 공간들 중에 특정 성질들을 만족하는 공간을 벡터 공간이라 칭한다. 그리고 그 공간의 원소가 벡터 이다. 흔히 알고 있는 벡터 즉, 유클리드 벡터Euclidean Vector 는 우리가 친숙한 2차원, 3차원의 기하학적 공간에서 길이와 방향을 가진 성분으로 표시되는 것들이다. 이것은 벡터의 한 예일 뿐이며, 다른 객체들도 충분히 벡터가 될 수 있다. 이제 벡터와 벡터 공간이 될 수 있는 수학적 성질들을 살펴보자 

체 F (실수체, 복소수체 등)의 집합 V의 벡터 v, w 대해 두 연산

v, w ∈ V 일 때 V + V ⟶ V 인 연산, 벡터 덧셈(v+w)

v ∈ V, a ∈ F 일 때 F x V ⟶ 인 연산, 스칼라 곱(a⋅v)이 정의 되고 

아래의 성질들을 만족하면 집합 V를 체 F 위의 벡터 공간Vector Space Over a field F  라 하며, V의 원소를 벡터라고 부른다

v + w 가 다시 V의 원소이다

av 가 V의 원소이다  

즉, 벡터간의 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있으면 벡터 공간이 정의된다.

위에서 예로 든 2차원, 3차원 좌표계의 벡터들은 실수체 F 위의 벡터 공간으로 정의된다.